如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D.E.F分别为棱长PA.PB.PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1)求证:P-ABC为正四面体, (2)棱PA上是否存在一点M.使得BM与面ABC所成的角为45°?若存在.求出点M的位置,若不存在.请说明理由. (3)设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（本小题满分14分）

如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

（1）求证：P-ABC为正四面体；

（2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

（3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

【答案】

（1）见解析（2）M点满足AM=

（3）构造棱长均为,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体

【解析】

试题分析：

（1）解：∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等

∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 2分

又∵截面DEF∥底面ABC,

∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°

∴P-ABC是正四面体. 4分

（2）（5分）

作PO⊥面ABC于O，MN⊥面ABC于N，

∵A、M、P三点共线 ∴A、N、O三点共线，延长AO交BC于G

∴∠MBN=45°，MN//PO

∵P-ABC为棱长为1的正四面体

∴ AO=，PO= 6分

设MN=x，则BN=x，且

∴AM=，AN=

∵AG是等边△ABC的中线 ∴∠BAN=30°

∴BN²=AN²+AB²-2ABANcos30° 8分

解得x=

∴AM= 9分

（3）（5分）

存在满足条件的平行六面体. 10分

棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,则平行六面体的棱长均为, 11分

设该六面体一条侧棱长为A₁B₁，与底面两条棱A₁C₁和A₁D₁的夹角为60°，设底面四边形的锐角为2α, 作B₁E₁⊥底面A₁C₁D₁于E₁，E₁F₁⊥A₁C₁

∵∠B₁A₁C₁=∠B₁A₁D₁

∴∠C₁A₁E₁=α

则A₁F₁=，A₁E₁=，zxxk

B₁E₁=

则V=

解得或

∴2α=90°或60° 13分

故构造棱长均为,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体即满足要求. 14分

考点：棱柱棱台的性质，直线与平面所成角，解三角形，柱体体积公式

点评：该题综合性较强，涉及多知识点的交汇

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