Question

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知向量（），，动点的轨迹为．

（1）求轨迹的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；

(2)当时，过点(０，１)，作轨迹T的两条互相垂直的弦、，设、 的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

当时，方程为表示抛物线；

当时，方程表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；

当且时，方程表示椭圆；

了 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.

(2)直线恒过定点．

【解析】(1)由得到关于x,y的方程.然后再根据k的取值情况讨论曲线的形状.

(2)根据（1）可知轨迹T的方程为,设，，直线AB的方程为,它与抛物线方程联立，求出点M，N的坐标，进而可求出MN的斜率，从而可写出MN的直线方程，然后再研究方程得出定点坐标.

（1）∵  ∴

得------------------------------2分

当时，方程为表示抛物线；-----------------------3分

当时，方程表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；----------------4分

当且时，方程表示椭圆；---------------------------------5分

了 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.-- --------------6分

(2) 当时，轨迹T的方程为.

设，

直线AB的方程为，联立有：

∴，

∴点Ｍ的坐标为．              （8分）

同理可得：点的坐标为．  （10分）

直线的斜率为，

其方程为，整理得，

显然，不论为何值，点均满足方程，

∴直线恒过定点．                                 （14分）