Question

在△ABC中，已知内角A、B、C成等差数列，边AC=6．设内角A=x，△ABC的周长为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据三个角成等差数列得到角B的大小，根据正弦定理写出三角形的边长，表示出三角形的周长，得到关于x的函数式．
（2）根据上一问的结果，对三角函数进行恒等变形，得到y=Asin（x+φ）+b的形式，这样可以根据正弦曲线的性质做出函数的最大值．

解答：解（1）∵角A、B、C成等差数列∴2B=A+C
又A+B+C=π∴B=

π

3

由A＞0，C＞0，得0＜A＜

2

3

π，即0＜x＜

2

3

π
由正弦定理得：

BC

sinA

=

AB

sinC

=

AC

sinB

=

6

sin π 3

=4

3

∴BC=4

3

sinx，AB=4

3

sin(

2

3

π-x)
∴y=4

3

sin(

2

3

π-x)+4

3

sinx+6(0＜x＜

2

3

π)
（2）y=4

3

(

3

2

cosx+

1

2

sinx)+4

3

sinx+6
=6

3

sinx+6cosx+6=12(

3

2

sinx+

1

2

cosx)+6
=12sin(x+

π

6

)+6∵0＜x＜

2

3

π
∴

π

6

＜x+

π

6

＜

5

6

π
∴当x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，y_max=18

点评：本题考查数列与三角函数的综合问题，本题解题的关键是求出对函数式进行恒等变形，得到可以求解三角函数性质的形式，这是绝大部分三角函数题目要做到一个环节．