Question

若对任意的实数m，n，都有f（m）+f（n）=f（m+n），且f（1005）=2，则f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2009）=

2010

．

Answer 1

分析：因为f（1005）=2，所以f（1005）+f（1005）=4．因为f（m）+f（n）=f（m+n），所以f（1005）+f（1005）=f（2010）=4．f（1）+f（2009）=f（2010），f（3）+f（2007）=f（2010），…，f（1003）+f（1007）=f（2010），f（1005）=2，由此能求出f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2009）的值．

解答：解：因为f（1005）=2，
所以f（1005）+f（1005）=4
又因为f（m）+f（n）=f（m+n）
所以f（1005）+f（1005）=f（2010）=4
又有
f（1）+f（2009）=f（2010）
f（3）+f（2007）=f（2010）
…
f（1003）+f（1007）=f（2010）
f（1005）=2
以上式子相加即为原式=4×502+2=2008+2=2010．
故答案为：2010．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意f（m）+f（n）=f（m+n）的灵活运用．