Question

已知函数(a ,bR，e为自然对数的底数），.

(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；

(II)当a>0 时，设的图象C₁与的图象C₂相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C₁于点，求证.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）先求出函数的导数，然后利用条件转化为方程有解问题；（Ⅱ）构造函数，利用导数法研究函数的单调性。

（Ⅰ）当时，若，则

，原命题等价于在R上有解．…2分

法一：当时，显然成立；

当时，

∴　，即．综合所述　．…………………5分

法二：等价于在R上有解，即∴　．………………5分

（Ⅱ）设，不妨设，则，

，，

两式相减得：，……………7分

整理得

则，于是，……9分

而

令，则设，则

，

∴　在上单调递增，则，于是有，即，且，∴　，即．