Question

已知点F₁，F₂分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂（1，0）的距离的最大值为+1．
（1）求椭圆C的方程．
（2）点M的坐标为（，0），过点F₂且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，可知：c=1且a+c=+1，
∴a=，可得b²=a²-c²=1
因此，椭圆C的方程为：+y²=1
（2）设直线l的方程为：y=k（x-1）
直线交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由根与系数的关系，得
∵M（，0），可得，
∴=（x₁-）（x₂-）+y₁y₂=-（x₁+x₂）+x₁x₂++y₁y₂，
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴=-（x₁+x₂）+x₁x₂++y₁y₂
=-（x₁+x₂）+x₁x₂++k²（x₁-1）（x₂-1）
=-•+++k²（-+1）=-
∴对于任意的k∈R，=-（定值）．
分析：（1）根据题意，可得c=1且a=，再用平方关系算出b²=1，从而得到椭圆C的方程．
（2）设直线交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程y=k（x-1）与椭圆C联解消去y，得关于x的方程，再运用根与系数关系算出x₁+x₂、x₁x₂关于k的式子，最后利用向量数量积的坐标公式将化简整理，即可得到对于任意的k∈R，=-（定值）．
点评：本题给出椭圆方程，求解过焦点的直线与椭圆相交所得向量数量积的问题，着重考查了椭圆的几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．