Question

使函数的图象关于原点对称，且满足对于内任意两个数x₁，x₂，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的θ的一个取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：函数f（x）图象关于原点对称，满足f（0）=0，算出tanθ=-，得θ=+kπ（k∈Z）．再根据函数f（x）区间内恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，得函数f（x）为减函数，利用辅助角公式并结合函数y=Asin（ωx+φ）的性质讨论f（x）的单调减区间，即可得到取k=0，得θ=时满足题设的两个条件．
解答：解：∵函数的图象关于原点对称，
∴函数f（x）是奇函数，满足f（0）=sinθ+cosθ=0，
得tanθ=-，θ=+kπ，k∈Z
∵=2sin（2x+θ+）
满足在区间内恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，即函数为减函数
∴θ+≤2x+θ+≤θ+，
令t=2x+θ+，得集合M={t|θ+≤t≤θ+}，且M?[+2mπ，+2mπ]，m∈Z．
由此可得：取k=m=0，得θ=，M=[π，}满足题设的两个条件
故选：D
点评：本题给出三角函数的图象关于原点对称，并且在已知一个单调减区间的情况下求参数的值，着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变形和函数的单调性等知识，属于中档题．