Question

已知A，B是椭圆的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点
（1）求椭圆C的方程；
（2）求三角形MNT的面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知a=2，b=．由此能求出椭圆C的方程．
（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m²+4）y²+6my-9=，0，由此能求出三角形MNT的面积的最大值．
解答：解：（1）由题设知a=2，b=
椭圆C的方程
（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m²+4）y²+6my-9=0
令t=m²+1≥1，则
故
点评：本题考查椭圆C的方程，求△MNT的面积的最大值．解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆性质的合理运用．