Question

【题目】已知函数.

（1）证明：；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）的最大值为，的最小值为1

【解析】

（1）当时，对函数进行求导，利用导数可以求出函数的最小值，利用奇偶性再进行判断即可；

（2）化简，不等式可以转化为：，，令，求导，根据的不同取值，判断出函数的单调性，最后分类讨论进行求解即可.

（1）当时，，，

当时，，则，

当时，，则，

则当时，，在上为增函数，，

又函数为偶函数，则对任意，成立，

（2），

当时，，即为，

，即为，

令，则，

当时，在上，，在上为增函数，；

当时，在上，，在上为减函数，；

当时，存在唯一的，使得，

与在区间上的情况如下：

	+	0	－
	增	极大值	减

在区间上是增函数，，

进一步，当时，当且仅当，

可得.

综上所述，当且仅当时，在上恒成立；

当且仅当时，在上恒成立，

所以的最大值为，的最小值为1.