Question

13．已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0
（1）若直线3x-4y-6=0与圆C交于A、B两点，求弦|AB|的长；
（2）求点C关于直线m：3x-4y-6=0对称的点C′的坐标．

Answer 1

分析 （1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦|AB|的长；
（2）设点（1，-2）关于直线3x-4y-6=0的对称点坐标是C′（a，b），利用垂直、和中点在对称轴上这两个条件求出a、b的值，可得对称点坐标．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，可化为圆（x-1）²+（y+2）²=9，
∴圆心坐标为（1，-2），半径为3，
圆心到直线3x-4y-6=0的距离d=$\frac{3+8-6|}{5}$=1，
∴|AB|=2$\sqrt{9-1}$=4$\sqrt{2}$；
（2）设点（1，-2）关于直线3x-4y-6=0的对称点坐标是C′（a，b），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+2}{a-1}×\frac{3}{4}=-1}\\{3×\frac{1+a}{2}-4×\frac{-2+b}{2}-6=0}\end{array}\right.$，求得a=-$\frac{1}{5}$，b=-$\frac{2}{5}$，可得对称点的坐标（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$）．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．