Question

3．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1，代入|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+1+2+4+2}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+9}$$≥\sqrt{2|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|+9}$=$\sqrt{11}$，当且仅当$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|$=1时取等号．
故答案为：$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．