Question

3．已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设$g（x）={log_2}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）（a∈R）$，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义求出k的值即可；（2）通过换元讨论a的范围，结合方程根的情况求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）．
∴${log_2}（{4^{-x}}+1）-kx={log_2}（{4^x}+1）+kx$，∴2x+2kx=0．
由于此式对于一切x∈R恒成立，∴k=-1…4
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，等价于方程f（x）=g（x）有唯一的实数解，
等价于方程${4^x}+1=（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）•{2^x}$有唯一实数解，且$a•{2^x}-\frac{4}{3}a＞0$．
令2^x=t，则此问题等价于方程$（a-1）•{t^2}-\frac{4}{3}at-1=0$只有一个正实根且$a•{2^x}-\frac{4}{3}a＞0$．
从而有：
①a-1=0即a=1，则$t=-\frac{3}{4}$，不合题意舍去．
②a-1≠0即a≠1．
（Ⅰ）若$△=\frac{16}{9}{a^2}+4（a-1）=0$，即$a=\frac{3}{4}$或a=-3．当$a=\frac{3}{4}$时，代入方程得t=-2不合题意，
当a=-3时，得$t=\frac{1}{2}$符合题意．
（Ⅱ）方程有一个正根和一个负根，即$\frac{-1}{a-1}＜0$，即a＞1符合题意，综上所述，实数a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．…10

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查转化思想，方程思想，分类讨论，是一道中档题．