Question

8．已知函数f（x）的定义域是R，f′（x）是f（x）的导数，f（1）=e，g（x）=f′（x）-f（x），g（1）=0，g（x）的导数恒大于零，函数h（x）=f（x）-e^x（e=2.71828…是自然对数的底数）的最小值是（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根据条件判断f′（x）与f（x）的关系，构造函数求出函数的最值，进行比较即可．

解答 解：∵f（1）=e，g（x）=f′（x）-f（x），g（1）=0，
∴g（1）=f′（1）-f（1）=0，则f′（1）=f（1）=e，
g′（x）＞0恒成立，
即g（x）为增函数，
则当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，
即f′（x）-f（x）＞0，
当x＜1时，g（x）＜g（1）=0，
即f′（x）-f（x）＜0，
构造函数m（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则m′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
则当x＞1时，m′（x）＞0，此时递增，
当x＜1时，m′（x）＜0，此时递减，
即函数m（x）取得极小值同时也是最小值m（1）=$\frac{f（1）}{e}$=$\frac{e}{e}$=1
即m（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$≥1，
则f（x）≥e^x，
则h（x）=f（x）-e^x≥e^x-e^x=0，
即h（x）的最小值为0．
故选：B

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据导数之间的关系，利用构造法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．