Question

1．若曲线f（x）=ax³-bx+4在x=1处的切线方程为9x+3y-10=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）（理）若方程f（x）=k有3个实数解，求实数k的取值范围．
（文）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标列出方程组求出a，b即可．
（2）（理）求出函数的极值点，得到极值，推出实数k的取值范围．
（文）通过求解导函数的符号的不等式，即可求函数f（x）的单调区间．

解答 解：曲线f（x）=ax³-bx+4，则f′（x）=3ax²-b…（1分）
（1）9x+3y-10=0的斜率为-3，切点为$（1，\frac{1}{3}）$…．（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=3a-b=-3\\ f（1）=a-b+4=\frac{1}{3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=4\end{array}\right.$…（5分）
∴所求解析式为$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$…（6分）
（2）由（1）得f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0∴x=-2或x=2…．（7分）
∴x∈（-∞，-2），f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
x∈（-2，2），f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）是增函数…（理9分）  （文10分）
（文：∴函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，-2），（2，+∞）
单调递减区间为：（-2，2）…．（文）12分）
理：因此：当x=-2时，f（x）有极大值$\frac{28}{3}$，当x=2时，f（x）有极小值$-\frac{4}{3}$…..（11分）
且x→-∞，f（x）→-∞，x→+∞，f（x）→+∞，
∴由f（x）的图象可知k的取值范围为$-\frac{4}{3}＜k＜\frac{28}{3}$…．（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，求解切线方程，函数的单调区间，函数的极值，考查分析问题解决问题的能力．