Question

如图α-l-β是120°的二面角，A、B两点在棱l上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°．
（1）求三棱锥D-ABC的体积；?
（2）求二面角D-AC-B的大小．?
（3）求异面直线AB、CD所成的角．

Answer 1

解：（1）过D向平面β作垂线，垂足为O，连接OA并延长至E，
∵AB⊥AD，OA为DA在平面β内的射影，
∴AB⊥OA，∴∠DAE为二面角α-l-β的平面角 （2分）
∴∠DAE=120°，∠DAO=60°，
∵AD=AB=2，∴Rt△ADO中，DO=ADsin60°=，
∵△ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2．
∴S_△ABC=×2×1=1，
又∵D到平面β的距离DO=，
∴V_D-_ABC=×S_△ABC×DO=．（4分）
（2）过O在β内作OM⊥AC于M，连接DM，则AC⊥DM，
∴∠DMO为二面角D-AC-B的平面角，（6分）
在△DOA中，OA=2cos60°=1，且∠OAM=∠CAE=45°，
∴Rt△OAM中，OM=OAsin45°=，
∴Rt△ODM中，tan∠DMO==，
因此，∠DMO=arctan，即二面角D-AC-B的大小为arctan．（8分）
（3）在β内过C作AB的平行线交AE于F，
∴∠DCF（或其补角）为异面直线AB、CD所成的角 （10分）
∵AB⊥AF，AB⊥AD，CF∥AB，
∴CF⊥DF，结合∠CAE=45°，得△ACF为等腰直角三角形，
又∵AF等于C到AB的距离，即为△ABC斜边上的高，
∴AF=CF=AB=1，
∴DF²=AD²+AF²-2AD•AF•cos120°=7，得DF=
在Rt△DCF中，tan∠DCF=，得∠DCF=arctan，
即异面直线AB、CD所成的角为arctan．（12分）
分析：（1）过D作DO⊥β于点O，连接OA并延长至E，可证出∠DAE为二面角α-l-β的平面角，得∠DAO=180°-120°=60°．Rt△ADO中，算出DO=，即为三棱锥D-ABC的高，最后算出△ABC的面积，再利用锥体体积公式即得三棱锥D-ABC体积；
（2）过O在β内作OM⊥AC于M，连接DM，则AC⊥DM，得∠DMO为二面角D-AC-B的平面角．然后在Rt△ODM中，算出OM的长．Rt△ODM中利用直角三角形中正切的定义，得tan∠DMO=，即得二面角D-AC-B的大小为arctan；
（3）在β内过C作CE∥AB交AE于F，可得∠DCF（或其补角）为异面直线AB、CD所成的角．Rt△DCF中，算出CF、DF的长，从而得到tan∠DCF=，即得异面直线AB、CD所成的角为arctan．
点评：本题给出120度的二面角和分别在两个半平面的等腰直角三角形，求三棱锥的体积和异面直线所成角的大小，着重考查了二面角平面角的作法和异面直线所成角的求法等知识，考查了解三角形的知识，属于中档题．