Question

如图，F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为

1

2

，点C在x轴上，BC⊥BF，由B、C、F三点确定的圆M恰好与直线x+

3

y+3=0相切．
（I）求椭圆的方程；
（II）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，若在x轴上存在一点N（x₀，0），使得直线NP与直线NQ关于x轴对称，求x₀的值．

Answer 1

分析：（I）设点F的坐标为（-c，0），根据离心率，可知点B的坐标为（0，

3

c），进而可求直线BF的斜率，根据BC⊥BF，进而求得直线BC的斜率．进而求得点C的坐标，可知圆M的圆心和半径，又根据圆M恰好与直线x+

3

y+3=0相切．根据圆心到直线的距离为2c，进而可求得c，根据离心率可求得b，根据b²=a²-c²求得a，最后椭圆的标准方程可得．
（II）由题意可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）根据直线NP与直线NQ关于x轴对称，可知k_NP=-k_NQ，根据点P，Q表示x₀，根据直线l与椭圆相交，联立方程，根据韦达定理，可分别求得x₁+x₂和x₁x₂，进而可求得x₀

解答：解：（I）由题意可知F（-c，0）
∵e=

1

2

，∴b=

3

c，即B（0，

3

c)，∴kBF=

3 c

0-(-c)

=

3

又∵BC⊥BF，∴kBC=-

3

3

，
∴C（3c，0），∴圆M的圆心坐标为（c，0），半径为2c由直线x+

3

y+3=0与圆M相切可得

|c+3|

1+( 3 )2

=2c，
∴c=1，∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（II）由题意可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵直线NP与直线NQ关于x轴对称，
∴k_NP=-k_NQ，即

y1

x1-x0

=-

y2

x2-x0

∴

k(x1+1)

x1-x0

=-

k(x2+1)

x2-x0

，∴x0=

x1+x2+2x1x2

x1+x2+2

∵

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，∴3x²+4k²（x+1）²=12
∴（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴x0=

- 8k2 3+4k2 + 8k2-24 3+4k2

2- 8k2 3+4k2

=-4

点评：本题主要考查椭圆的标准方程的问题．要能较好的解决椭圆问题，必须熟练把握好椭圆方程中的离心率、长轴、短轴、标准线等性质．