Question

设函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1(x∈R）的最大值为M，最小正周期为T
（1）求M，T及函数的单调增区间；
（2）10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10）求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）的形式，（1）利用y=Asin（ωx+φ）型函数参数的几何意义及周期计算公式即可得M、T，再将内层函数看作整体，利用外层函数的单调性解不等式即可得函数f（x）的单调增区间；（2）因为f（x_i）=M，所以x_i为函数f（x）的对称轴，求出此对称轴方程，在规定范围内列举求和即可

解答：解：f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x=2（cos

π

6

sin2x+sin

π

6

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

）
（1）∴函数f（x）的最大值M=2，最小正周期T=

2π

2

=π
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k是整数
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈z
（2）∵f（x_i）=M=2
∴2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，x_i=kπ+

π

6

∵0＜x_i＜10π，∴0≤k≤9  k∈Z
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（1+2+3+…+9）π+10×

π

6

=

140π

3

点评：本题考查了利用三角变换公式化简三角函数式的技巧，y=Asin（ωx+φ）型函数参数的几何意义及周期计算公式，单调区间和对称轴的求法