Question

已知在直角坐标系xOy中，角的始边为x轴正半轴，已知α，β均为锐角，且角β和α+β的终边与单位圆交点横坐标分别为

4

5

和

5

13

．
（1）求tanβ的值；
（2）求角α终边与单位圆交点的纵坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意求出cosβ与cos（α+β）的值，由β为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，再利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanβ的值；
（2）角α终边与单位圆交点的纵坐标即为sinα的值，由α+β的范围及cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）的值，sinα=sin[（α+β）-β]，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）由题意可得cosβ=

4

5

，cos（α+β）=

5

13

，
∵β∈（0，

π

2

），
∴sinβ=

1-cos2β

=

3

5

，
∴tanβ=

sinβ

cosβ

=

3

4

；
（2）∵0＜α+β＜π，
∴sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

12

13

，
则sinα=sin[（α+β）-β]
=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=

12

13

×

4

5

-

5

13

×

3

5

=

33

65

，
则角α终边与单位圆交点的纵坐标即为

33

65

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．