Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点
构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁．
（ⅰ）求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ⅱ）求△OA₁B面积的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为椭圆C的一个焦点是（1，0），所以半焦距c=1．
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
所以，解得a=2，b=所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（i）设直线l：x=my+4与联立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0．
记，．
由A关于x轴的对称点为A₁，得A₁（x₁，-y₁），
根据题设条件设定点为T（t，0），得，即．
所以=即定点T（1，0）．

（ii）由（i）中判别式△＞0，解得|m|＞2．可知直线A₁B过定点T（1，0）．
所以|OT||y₂-（-y₁）|=，
得，
令t=|m|记，得，当t＞2时，φ^′（t）＞0．
在（2，+∞）上为增函数．所以，
得．故△OA1B的面积取值范围是．
分析：（Ⅰ）根据焦点坐标求得c，根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．求得a和c的关系式，进而求得a和b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）（i）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去x，设出A，B的坐标，则可利用韦达定理求得y₁y₂和y₁+y₂的表达式，根据A点坐标求得关于x轴对称的点A₁的坐标，设出定点，利用TB和TA₁的斜率相等求得t．
（ii）由（i）中判别式△＞0求得m的范围，表示出三角形OA₁BD面积，利用m的范围，求得m的最大值，继而求得三角形面积的范围．
点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力．