Question

8．已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{3}{5}$，求证直线EF、GH、AC交于一点．

Answer 1

分析 利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例定理，得到FG、EH都平行于BD，利用平行线的传递性得到GF∥EH，再利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，则结论得证．

解答 证明：如图，
∵F、G分别是边BC、CD上的点，且$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{3}{5}$，
∴GF∥BD，并且GF=$\frac{3}{5}$BD，
∵点E、H分别是边AB、AD的中点，
∴EH∥BD，并且EH=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥GF，并且EH≠GF，
∴EF与GH相交，设其交点为P，
∴P∈面ABC内，
同理C∈面ACD，
又∵面ABC∩面DAC=AC
∴P在直线AC上．
即EF、GH、AC交于一点．

点评 本题考查三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件、证三点共线常用的方法，是基础题．