Question

15．等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，若a₁₇²=a₂₄，求使得不等式S_n＞T_n成立的正整数n的取值范围．

Answer 1

分析 根据等比数列的通项公式化简a₁₇²=a₂₄，根据等比数列的定义和前n项和公式求出T_n，S_n，代入不等式S_n＞T_n化简，由q＞1和指数函数的性质求出正整数n的取值范围．

解答 解：∵a₁₇²=a₂₄，∴${（{a}_{1}{q}^{16}）}^{2}={a}_{1}{q}^{23}$，化简可得${a}_{1}{q}^{9}=1$，
∵数列{a_n}是等比数列，∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$为首项、以$\frac{1}{q}$为公比的等比数列，
∴T_n=$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{n}}）}{1-\frac{1}{q}}$，
又S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，代入S_n＞T_n得：$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$＞$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{n}}）}{1-\frac{1}{q}}$，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}＞\frac{\frac{q}{{a}_{1}}\frac{{q}^{n}-1}{{q}^{n}}}{q-1}$，
化简得${{a}_{1}}^{2}{q}^{n-1}＞1$，
由${a}_{1}{q}^{9}=1$得${a}_{1}={q}^{-9}$，代入上式得，q^n-19＞1，
∵q＞1，∴n-19＞0，解得n＞19，
∴使得不等式S_n＞T_n成立的正整数n的取值范围是（19，+∞）．

点评 本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及数列与不等式问题，考查化简、计算能力，属于中档题．