Question

【题目】对于n∈N* ， 若数列{xn}满足xn+1﹣xn＞1，则称这个数列为“K数列”．
（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足 ？若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列 不是“K数列”，若 ，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，①m2﹣（m+1）＞1，②
解①得 m＞1；
解②得 m＜﹣1或m＞2．
所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．
（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，
由 a1=﹣1，得 ，．
由题意，得 对n∈N*均成立，
即（n﹣1）d＜n．
①当n=1时，d∈R；
②当n＞1时， ，
因为 ，
所以d≤1，与d＞1矛盾，
故这样的等差数列{an}不存在．
（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则 ，
因为{an}的每一项均为正整数，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，
所以a1＞0，且q＞1．
因为an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1 ，
所以在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．
同理，在 中，“ ”为最小项．
由{an}为“K数列”，只需a2﹣a1＞1，即 a1（q﹣1）＞1，
又因为 不是“K数列”，且“ ”为最小项，所以 ，即 a1（q﹣1）≤2，
由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=2，
所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．
①当a1=1，q=3时， ，则 ，
令 ，则 ，
又 = ，
所以{cn}为递增数列，即 cn＞cn﹣1＞cn﹣2＞…＞c1 ，
所以bn+1﹣bn＞bn﹣bn﹣1＞bn﹣1﹣bn﹣2＞…＞b2﹣b1 ．
因为 ，
所以对任意的n∈N* ， 都有bn+1﹣bn＞1，
即数列{cn}为“K数列”．
②当a1=2，q=2时， ，则 ．因为 ，
所以数列{bn}不是“K数列”．
综上：当 时，数列{bn}为“K数列”，
当 时，数列{bn}不是“K数列”
【解析】（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，m2﹣（m+1）＞1，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得 对n∈N*均成立，化为（n﹣1）d＜n．对n分类讨论解出即可得出．（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则 ，由题意可得：{an}的每一项均为正整数，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1 ， 可得在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在 中，“ ”为最小项．再利用“K数列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．