Question

【题目】已知函数f（x）= e﹣ax（a＞0）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x= 处的切线方程；
（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）= e﹣2x．f（ ）=3e﹣1，

又f′（x）= e﹣2x，∴f′（ ）=2e﹣1，

故所求切线方程为y﹣3e﹣1=2e﹣1（x﹣ ），即y= x+

（2）解：方程f（x）﹣1=0即f（x）=1．

f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），

当x＜﹣1或x＞1时，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1无解；

故只需考虑﹣1≤x≤1的情况，

f′（x）= e﹣2x，

当＜a≤2时，f′（x）≥0，所以f（x）区间[﹣1，1）上是增函数，又易知f（0）=1，

所以方程f（x）=1只有一个根0；

当a＞2时，由f′（x）=0可得x=± ，且0＜ ＜1，

由f′（x）＞0可得﹣1≤x＜﹣ 或 ＜x＜1，

由f′（x）＜0可得﹣ ＜x＜ ，

所以f（x）单调增区间为[﹣1，﹣ ）和（ ，1）上是增函数，

f（x）单调减区间为（﹣ ， ），

由上可知f（ ）＜f（0）＜f（﹣ ），即f（ ）＜1＜f（﹣ ），

在区间（﹣ ， span> ）上f（x）单调递减，且f（0）=1，

所以方程f（x）=1有唯一的根x=0；

在 区间[﹣1，﹣ ）上f（x）单调递增，且f（﹣1）=0＜1，f（﹣ ）＞1，

所以方程f（x）=1存在唯一的根0

在区间（ ，1）上，由f（ ）＜1，x→1时，f（x）→+∞，

所以方程f（x）=1有唯一的根；

综上所述：当0＜a≤2时，方程f（x）=1有1个根；

当a＞2时，方程f（x）=1有3个根

【解析】（1）当a=2时，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．（2）由f（x）﹣1=0得f（x）=1，求函数的导数f′（x），判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行判断即可．