【题目】已知圆与
轴负半轴相交于点
,与
轴正半轴相交于点
.
(1)若过点的直线
被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)若在以为圆心半径为
的圆上存在点
,使得
(
为坐标原点),求
的取值范围;
(3)设是圆
上的两个动点,点
关于原点的对称点为
,点
关于
轴的对称点为
,如果直线
与
轴分别交于
和
,问
是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)直线的方程为
或
;(2)
;(3)
为定值1..
【解析】试题分析:(1)由题意分类讨论直线的斜率是否存在,根据垂径定理,弦心距,弦长及半径的勾股关系解得k即可求得直线方程;(2) 设点的坐标为
,由题得点
的坐标为
,点
的坐标为
由
可得
,化简可得
又点
在圆
上,所以转化为点p轨迹与圆B有交点即可得解(3)
,则
,直线
的方程为
,令
,则
, 同理可得
利用
是圆
上的两个动点即可得定值.
试题解析:
(1) 若直线
的斜率不存在,则
的方程为:
,符合题意.
若直线
的斜率存在,设
的方程为:
,即
∴点到直线
的距离
∵直线被圆
截得的弦长为
,∴
∴ ,此时
的方程为:
∴所求直线的方程为
或
(2)设点的坐标为
,由题得点
的坐标为
,点
的坐标为
由可得
,化简可得
∵点在圆
上,∴
,∴
∴所求的取值范围是
.
(3)∵,则
∴直线的方程为
令,则
同理可得
∴
∴为定值1.
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【题目】已知圆M的圆心在直线上,且经过点A(-3,0),B(1,2).
(1)求圆M的方程;
(2)直线与圆M相切,且
在y轴上的截距是
在x轴上截距的两倍,求直线
的方程.
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【题目】直三棱柱中,
,
分别是
的中点,
,
为棱
上的点.
(1)证明:;
(2)是否存在一点,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?若存在,说明点
的位置,若不存在,说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:ρ2﹣4ρcosθ+1=0,直线l: (t为参数,0≤α<π).
(1)求曲线C的参数方程;
(2)若直线l与曲线C相切,求直线l的倾斜角及切点坐标.
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【题目】如图1,平面五边形ABCDE中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2,CD=1,△ADE是边长为2的正三角形.现将△ADE沿AD折起,得到四棱锥E﹣ABCD(如图2),且DE⊥AB.
(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)在棱AE上是否存在点F,使得DF∥平面BCE?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面内的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=2.
(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;
(2)若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为 ,求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1的长度.
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【题目】某产品按质量分10个档次,生产最低档次的利润是8元/件;每提高一个档次,利润每件增加2元,每提高一个档次,产量减少3件,在相同时间内,最低档次的产品可生产60件.问:在相同时间内,生产第几档次的产品可获得最大利润?(最低档次为第一档次)
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【题目】设函数f(x)=xln(x﹣1)﹣a(x﹣2).
(Ⅰ)若a=2017,求曲线f(x)在x=2处的切线方程;
(Ⅱ)若当x≥2时,f(x)≥0,求a的取值范围.
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