Question

【题目】设函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）．
（Ⅰ）若a=2017，求曲线f（x）在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）若当x≥2时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=2017时，f（x）=xln（x﹣1）﹣2017（x﹣2），
则f′（x）=ln（x﹣1）+ ﹣2017，故f′（2）=﹣2015，
又f（2）=0，
故切线方程是：y﹣0=﹣2015（x﹣2），
即2015x+y﹣4030=0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）≥0，而x≥2，
故ln（x﹣1）﹣ ≥0，
设函数g（x）=ln（x﹣1）﹣ ，（x≥2），
于是问题转化为g（x）≥0对任意的x≥2恒成立，
注意到g（2）=0，故若g′（x）≥0，则g（x）递增，
从而g（x）≥g（2）=0，而g′（x）= ，
∴g′（x）≥0等价于x2﹣2a（x﹣1）≥0，
分离参数得a≤ = [（x﹣1）+ +2]，
由均值不等式得 [（x﹣1）+ +2]≥2，
当且仅当x=2时取“=”成立，于是a≤2，
当a＞2时，设h（x）=x2﹣2a（x﹣1），
∵h（2）=4﹣2a=2（2﹣a）＞0，
又抛物线h（x）=x2﹣2a（x﹣1）开口向上，
故h（x）=x2﹣2a（x﹣1）有2个零点，
设两个零点为x1 ， x2 ， 则x1＜2＜x2 ，
于是x∈（2，x2）时，h（x）＜0，故g′（x）＜0，g（x）递减，
故g（x）＜g（2）=0，与题设矛盾，不合题意，
综上，a的范围是（﹣∞，2]．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；（Ⅱ）设函数g（x）=ln（x﹣1）﹣ ，（x≥2），于是问题转化为g（x）≥0对任意的x≥2恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．