【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:ρ2﹣4ρcosθ+1=0,直线l: (t为参数,0≤α<π).
(1)求曲线C的参数方程;
(2)若直线l与曲线C相切,求直线l的倾斜角及切点坐标.
【答案】
(1)解:∵曲线C:ρ2﹣4ρcosθ+1=0,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+1=0,即(x﹣2)2+y2=3,
∴曲线C是以C(2,0)为圆心,以r= 为半径的圆,
∴曲线C的参数方程为
(2)解:∵直线l: (t为参数,0≤α<π).
∴消去参数t,得直线l的直角坐标方程为:cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0.
∵直线l与曲线C相切,∴圆心C(2,0)到直线l的距离d等于圆半径r,
即d= =2cosα=
,∴cos
,
∵0≤α<π,∴直线l的倾斜角α= ,
∴直线l的方程为 x﹣y﹣4
=0,
联立 ,得x=
,y=﹣
,
∴切点坐标为( ,﹣
).
【解析】(1)由曲线C的极坐标方程,求出曲线C的直角坐标方程,得到曲线C是以C(2,0)为圆心,以r= 为半径的圆,由此能求出曲线C的参数方程.(2)直线l消去参数t,得直线l的直角坐标方程为:cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0.由直线l与曲线C相切,知圆心C(2,0)到直线l的距离d等于圆半径r,由此能求出结果.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣blnx在点(1,f(1))处的切线为y=1.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)是否存在实数m,当x∈(0,1]时,函数g(x)=f(x)﹣x2+m(x﹣1)的最小值为0,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若0<x1<x2 , 求证: <2x2 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形的长为2,宽为1,
,
边分别在
轴、
轴的正半轴上,
点与坐标原点重合,将矩形折叠,使
点落在线段
上,设此点为
.
(1)若折痕的斜率为-1,求折痕所在的直线的方程;
(2)若折痕所在直线的斜率为,(
为常数),试用
表示点
的坐标,并求折痕所在的直线的方程;
(3)当时,求折痕长的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,经过点
且斜率为
的直线
与椭圆
有两个不同的交点
和
.
(1)求的取值范围;
(2)设椭圆与轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
,是否存在常数
,使得向量
与
共线?如果存在,求
值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线,直线
交此抛物线于不同的两个点
、
.
()当直线
过点
时,证明
,
为定值.
()当
时,直线
是否过定点?若过定点,求出定点坐标;反之,请说明理由.
()记
,如果直线
过点
,设线段
的中点为
,线段
的中点为
.问是否存在一条直线和一个定点,使得点
到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆与
轴负半轴相交于点
,与
轴正半轴相交于点
.
(1)若过点的直线
被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)若在以为圆心半径为
的圆上存在点
,使得
(
为坐标原点),求
的取值范围;
(3)设是圆
上的两个动点,点
关于原点的对称点为
,点
关于
轴的对称点为
,如果直线
与
轴分别交于
和
,问
是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关,某校兴趣小组为了验证这个结论,从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验,其中甲班加强阅读理解训练,乙班常规教学无额外训练,一段时间后进行数学应用题测试,统计数据情况如下面的列联表(单位:人)
(1)经过多次测试后,小明正确解答一道数学应用题所用的时
间在5—7分钟,小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8
分钟,现小明.小刚同时独立解答同一道数学应用题,求小刚比
小明先正确解答完的概率;
(2)现从乙班成绩优秀的8名同学中任意抽取两人,并对他们的答题情况进行全程研究,记A.B两人中被抽到的人数为,求
的分布列及数学期望
.
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