Question

【题目】已知抛物线，直线交此抛物线于不同的两个点、．

（）当直线过点时，证明，为定值．

（）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；反之，请说明理由．

（）记，如果直线过点，设线段的中点为，线段的中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）直线，点

【解析】试题分析：（1）易判断直线有斜率且不为0，设，代入抛物线方程消掉 得的二次方程，由韦达定理即可证明；
（2）分情况讨论：①当直线的斜率存在时，设，其中，代入抛物线方程消掉 得的二次方程，由韦达定理及得的关系式，假设直线过定点，则，用消掉即可得到定点坐标；
②当直线的斜率不存在，设，代入抛物线方程易求，由已知可求得 可判断此时直线也过该定点；
（3）易判断直线存在斜率且不为0，由（1）及中点坐标公式可得，代入直线方程得，设，由中点坐标公式可得点轨迹的参数方程，消掉参数后即得其普通方程，由方程及抛物线定义可得准线、焦点即为所求；

试题解析：（）证明：过点与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，

设，其中（若时不合题意），

由得，

∴．

（）①当直线的斜率存在时，设，其中（若时不合题意）．

由得，

∴，从而．

假设直线过定点，则，

从而，得，即，即或定点．

②当直线的斜率不存在，设，代入得，，

∴，

解得，即，也过．

综上所述，当时，直线过定点．

（）依题意直线的斜率存在且不为零．

由（）得，点的纵坐标为，

代入得，即．

设，则，消得，

由抛物线的定义知，存在直线，点，点到它们的距离相等．