Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(-

1

3

，1)，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数是单调递减函数得g'（x）＜0的解集为（-

1

3

，1）即g'（x）=0方程的两个解是-

1

3

，1将两个解代入到方程中求出a的值可得到g（x）的解析式；
（Ⅱ）由g'（-1）=4得到直线的斜率，直线过（-1，1），则写出直线方程即可；
（Ⅲ）把f（x）和g'（x）代入到不等式中解出a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，设h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，利用导数讨论函数的增减性求出h（x）的最大值即可得到a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）g'（x）=3x²+2ax-1，由题意3x²+2ax-1＜0的解集是（-

1

3

，1）
即3x²+2ax-1=0的两根分别是-

1

3

，1
将x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x²-2x-1，
∴g'（-1）=4，
∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g'（-1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．
（Ⅲ）∵（0，+∞）⊆P，
∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得
a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

对x∈（0，+∞）上恒成立．
设h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，则h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2．
∴a≥-2，
∴a的取值范围是[-2，+∞）

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及会用待定系数法求函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．