Question

已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设

AB

=

a

，

AO

=

b

．
（1）用向量

a

与

b

表示向量

OC

，

CD

；
（2）若

OE

=

4

5

OA

，求证：C、D、E三点共线．

Answer 1

分析：（1）由点C是点B关于点A的对称点，则A为BC的中点，由于

OC

=

OA

+

AC

，

CD

=

CB

+

BD

=

CB

+

1

3

BO

=

CB

+

1

3

（

BA

+

AO

），结合已知条件，及向量加减法的三角形法则，我们易得结论．
（2）要证明C、D、E，我们可以证明

CE

与

CD

共线，即存在一个实数λ，使

CE

=λ

CD

成立．

解答：解：（1）∵

AB

=

a

，

AO

=

b

∴

OC

=

OA

+

AC

=-

a

-

b

CD

=

CB

+

BD

=

CB

+

1

3

BO

=

CB

+

1

3

（

BA

+

AO

）=2

a

+

1

3

(-

a

+

b

)=

5

3

a

+

1

3

b

（2）∵

CE

=

OE

-

OC

=

4

5

(-

b

)+

a

+

b

=

a

+

1

5

b

=

3

5

CD

∴

CE

与

CD

又∵

CE

与

CD

有公共点C，
∴C、D、E三点共线

点评：本题考查的知识点是向量加减法的三角形法则和向量的共线定理，后者是难点，在利用向量法证明三点共线时，我们可利用三点构造出两个向量，先证明这两个向量共线，再说明它们有公共点，进而得到三点共线．