Question

如图，△ABC是等边三角形，边长为2a．DE把△ABC的面积分成相等的两部分．点D在AB上，点E在AC上．
（1）设AD=x（x≥a），DE=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）试确定DE的位置，使DE最短．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理的面积公式算出△ABC的面积，结合已知条件得△ADE的面积等于

1

2

S_△ABC，由此建立关系式算出AE=

2a2

x

，再在△ADE中用余弦定理列式，即可得到用x表示y的函数关系式；
（2）根据（1）的结论，利用基本不等式求最值，即可算出当D点距离A点

2

a时，DE最短．

解答：解：（1）∵△ABC是边长为2a的等边三角形，
∴可得△ABC的面积为S_△ABC=

1

2

×(2a)2sin60°=

3

a²，
又∵DE把△ABC的面积分成相等的两部分
∴S_△ADE=

1

2

S_△ABC=

3

2

a2
可得

1

2

x•AE•sin60°=

3

2

a2，得AE=

2a2

x

．
在△ADE中，由余弦定理得
y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°=x²+（

2a2

x

）²-x•（

2a2

x

）=x²+（

2a2

x

）²-2a²
可得y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

（a≤x≤2a）．
（2）由基本不等式，可得
∵x²+

4a4

x2

≥2

x2• 4a4 x2

=4a²，当且仅当x=

2

a时取等号．
∴y≥

4a2-2a2

=

2

a，即当x=

2

a时，y的最小值是

2

a
即当D点距离A点

2

a时，DE最短，此时DE∥BC，DE的最小值为

2

a．

点评：本题主要考查了基本不等式求最值、利用正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．同时考查了学生的逻辑推理能力和运用所学知识解决实际应用问题的能力，属于综合题．