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已知函数的图像在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值;
(Ⅲ)若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在轴上,求实数的取值范围.
(Ⅰ);(Ⅱ)当在[-1,2]上的最大值为2,
在[-1,2]上的最大值为;(Ⅲ).

试题分析:(Ⅰ)由题意先对时的函数进行求导,易得,解得;(Ⅱ)因为函数为分段函数,要求在区间上的最大值,需分别求区间上的最大值,当时,应对函数进行求导,求函数的单调性,从而求区间上的最大值;当时,应对函数两种情况讨论,可得结论;(Ⅲ)根据条件可知的横坐标互为相反数,不妨设,其中,若,则,由是直角,得,即,方程无解;若,则由于中的中点在轴上,且,所以点不可能在轴上,即同理有,得的范围是.
试题解析:(I)当
因为函数图象在点处的切线方程为
所以切点坐标为解得.       4分
(II)由(I)得,当,令
可得上单调递减,在上单调递增,所以在的最大值为,当时,,
时,恒成立此时在[-1,2]上的最大值为
在[1,2]上单调递增,且

所以当在[-1,2]上的最大值为
在[-1,2]上的最大值为
综上可知,当在[-1,2]上的最大值为2,
时当在[-1,2]上的最大值为.            9分
(III)根据条件可知的横坐标互为相反数,
不妨设,其中
,则,由是直角,得,即
此方程无解;
,则由于中的中点在轴上,且,所以点不可能在轴上,
同理有
由于函数的值域是
所以实数的取值范围是                      14分
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