Question

设点M(1,2)既在f(x)=ax²+b(x≥0)的图象上,又在其反函数图象上.

（1）求f^-1 (x)；

（2）证明:f^-1 (x)在其定义域内单调递减.

Answer 1

提示：（1）若M（1，2）在函数f（x）=ax²+b（x≥0）的图象上，则M′（2，1）也在函数f（x）=ax²+b（x≥0）的图象上，故有∴

则f（x）=-x²+（x≥0）.

由f（x）=-x²+（x≥0），得x=.

∴函数f（x）=-x²+（x≥0）的反函数为f^-1（x）=（x≤）.

（2）设x₁＜x₂≤，

f^-1（x₂）-f^-1（x₁）=.

∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0.

又∵x₁＜x₂≤，∴7-3x₁≥0，7-3x₂≥0.

∴＞0.

∴f^-1（x₂）-f^-1（x₁）＜0.∴f^-1（x₂）＜f^-1（x₁）.

∴f^-1（x）=在x∈（-∞，]上单调递减.