Question

设点M（1，2）既在函数f（x）=ax²+b（x≥0）的图象上，又在它的反函数的图象上，求f^-1（x）．

Answer 1

分析：利用互为反函数的函数图象关于y=x对称这一特点，将点（1，2）和关于y=x的对称点（2，1）分别代入原函数解析式构建方程组求出a，b的值，最后再求原函数的反函数．

解答：解：由已知点（1，2）在f（x）=ax²+b（x≥0）的图象上
则 a+b=2，
又∵互为反函数的函数图象关于y=x对称
∴点（2，1）也在函数y=ax²+b的图象上
由此得：4a+b=1，
将此与a+b=2联立解得：a=-

1

3

，b=

7

3

，
∴函数f（x）=-

1

3

x²+

7

3

（x≥0），
其反函数是f^-1（x）=

7-3x

（x≤

7

3

）．

点评：本题的解答，巧妙的利用了互为反函数的函数图象间的关系，将点（1，2）和该点关于y=x的对称点（2，1）分别代入原函数解析式构建方程组，过程简捷，计算简单，值得借鉴．