Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AA₁，BB₁的中点．
（1）求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）求异面直线A₁F与D₁E所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，分别证明四边形AA₁C₁C、四边形A₁BCD₁为平行四边形，然后得到线线平行，进一步得到线面平行，最后利用两面平行的判定定理得结论；
（2）连结C₁F，证明D₁F∥C₁E，通过解直角三角形求出△A₁C₁F的三边长，然后利用余弦定理求角的余弦值．

解答：证明：（1）如图，
连结AC，AD₁，CD₁，A₁C₁，A₁B，C₁B．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四边形AA₁C₁C为平行四边形，∴A₁C₁∥AC．
A₁C₁?平面ACD₁，AC?平面ACD₁，∴A₁C₁∥平面ACD₁；
∵A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴四边形A₁BCD₁为平行四边形，∴A₁B∥CD₁．
A₁B?平面ACD₁，CD₁?平面ACD₁，∴A₁B∥?平面ACD₁，
又A₁B∩A₁C₁=A₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）连结C₁F，∵E，F分别是棱AA₁，BB₁的中点，∴EF∥C₁D₁，EF=C₁D₁
∴EFC₁D₁是平行四边形，∴D₁F∥C₁E．
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，解直角三角形求得A1C1=2

2

，A1F=C1F=

5

．
在△A₁C₁F中，由余弦定理得cos∠A1FC1=

A1F2+C1F2-A1C12

2A1F•C1F

=

( 5 )2+( 5 )2-(2 2 )2

2× 5 × 5

=

1

5

．
∴异面直线A₁F与D₁E所成的角的余弦值是

1

5

．

点评：本题考查了平面与平面平行的判定，考查了异面直线所成的角的求法，训练了利用余弦定理求角，是中档题．