Question

(08年海淀区期中练习文)（14分）

已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，右焦点为，右准线与轴相交于点， ，过点的直线与椭圆相交于两点， 点和点在上，且轴.

          (I) 求椭圆的方程及离心率；

          (II)当时，求直线的方程；

    （III）求证：直线经过线段的中点.

Answer 1

解析：（I）设椭圆方程为：

由得 .                                                 1分

又，

解得.

∴椭圆方程为：.                                                 3分

离心率.                                                          4分

（II）由（I）知点坐标为（1，0），又直线的斜率存在，设的斜率为,

则的方程为.                                            5分

由得   （*）                 6分

设，则是（*）方程两根，且，

∴. 

∵轴，且，

∴即，解得.

∴直线的方程为或.                          8分

（III）∵点，∴中点的坐标为.

     ① 当轴时，，

那么此时的中点为，即经过线段的中点.               9分

②     当不垂直轴时，则直线斜率存在,

设直线的方程为,                                       10分

由（*）式得.

又∵得

故直线的斜率分别为

.

又,

.

∴即.

且有公共点，∴ 三点共线.

∴直线经过线段的中点.                                     14分

综上所述，直线经过线段的中点.

说明：其他正确解法按相应步骤给分.