Question

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为

1

4

，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为

1

12

，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为

2

9

．
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）若让每台机床各自加工2个零件（共计6个零件），求恰好有3个零件是一等品的概率．

Answer 1

分析：（I）利用甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为

1

4

，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为

1

12

，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为

2

9

，建立方程组，求出甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率，即可求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）分类讨论求概率，即可求恰好有3个零件是一等品的概率．

解答：解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件，则A、B、C相互独立，则

P(A• . B )= 1 4 P(B• . C )= 1 12 P(A•C)= 2 9

⇒

P(A)•[1-P(B)]= 1 4 …(1) P(B)[1-P(C)]= 1 12 …(2) P(A)•P(C)= 2 9 …(3)

…..（1分）

由(1)(3)得P(B)=1- 9 8 P(C)， 代入(2)得27[P(C)]2-51P(C)+22=0，解得P(C)= 2 3 ，或P(C)= 11 9 (舍去)； ∴P(A)= 1 3 ，P(B)= 1 4

即甲乙丙三台机床各自加工零件是一等品的概率分别为

1

3

，

1

4

，

2

3

．…（3分）
（Ⅱ）（1）设甲有0个一等品的概率为P₁，则P1=(

2

3

)2[(

1

4

)2•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(

2

3

)2]=

7

81

…（2分）
（2）设甲有1个一等品的概率为P₂，则P2=

C

1 2

1

3

•

2

3

[(

1

4

)2•(

1

3

)2+(

3

4

)2•(

2

3

)2+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

]=

61

324

…（2分）
（3）设甲有2个一等品的概率为P₃，则P3=(

1

3

)2•[

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(

1

3

)2+(

3

4

)2•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

]=

21

648

…（2分）
所以，所求事件“恰好有三个零件是一等品”的概率为P=P1+P2+P3=

7

81

+

61

324

+

21

648

=

199

648

…（1分）

点评：本题考查概率的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．