Question

（1）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的定义域为R，求a的范围；
（2）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的值域为R，求a的范围．

Answer 1

解：（1）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的定义域为R，∴ax²+2x+1＞0恒成立，
故有 a＞0，且△=4-4a＜0，解得 a＞1，
故所求的a的范围为（1，+∞）．
（2）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的值域为R，故函数y=ax²+2x+1能取遍所有的正数．
当a=0时，函数y=log₂（ax²+2x+1）=log₂（2x+1），满足它的值域为R．
当a＞0时，应有△=4-4a≥0，解得 0＜a≤1．
综上可得，故所求的a的范围为[0，1]．
分析：（1）由题意可得ax²+2x+1＞0恒成立，故有 a＞0，且△=4-4a＜0，由此求得a的范围．
（2）由题意可得函数y=ax²+2x+1能取遍所有的正数．当a=0时，满足条件．当a＞0时，应有△=4-4a≥0，
由此解得a的范围，综合可得结论．
点评：本题主要考查二次函数的性质，对数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．