Question

（2006•海淀区一模）△ABC的三个内角分别为A、B、C，若tanA和tanB是关于x的方程x²+mx+m+1=0的两实根，则角C=

3π

4

；实数m的取值范围是

（-∞，2-

2

]

．

Answer 1

分析：依题意，利用韦达定理与两角和的正切可求得tan（A+B），继而可得C，再利用△≥0可求得实数m的取值范围．

解答：解：∵tanA和tanB是关于x的方程x²+mx+m+1=0的两实根，
∴

tanA+tanB=-m tanAtanB=m+1

且△=m²-4（m+1）≥0．
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

-m

1-(m+1)

=1，
∵A、B、C为△ABC的三个内角，
∴A+B=

π

4

，故C=π-（A+B）=π-

π

4

=

3π

4

；
∴tanA+tanB=-m＞0，
∴m＜0，又△=m²-4（m+1）≥0．
∴m≤2-

2

．
故答案为：

3π

4

，（-∞，2-

2

]．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查韦达定理的应用，属于中档题．