Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，M为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且△MF1F2的周长为4+2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点D（0，﹣2）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足 （O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由离心率为e= = ，①

则△MF1F2的周长l=2a+2c=4+2 ，则a+c=2+ ，②

则a=2，c= ，

则b2=a2﹣c2=1，

∴椭圆C的方程

（2）解：由 ，则四边形OANB为平行四边形，

当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由 得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0

由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，得k2＞ ∴x1+x2= ，x1x2=

∵S△OAB= 丨OD丨丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨，

∴四边形OANB面积S=2S△OAB=2丨x1﹣x2丨=2 ，

=2 ，

=2 ，

=8 ，

令4k2﹣3=t，则4k2=t+3（由上可知t＞0），S=8 =8 ≤8 =8 =2，

当且仅当t=4，即k2= 时取等号；

∴当k=± ，平行四边形OANB面积的最大值为2，

此时直线l的方程为y=± x﹣2

【解析】（1）利用椭圆的离心率公式及焦点三角形的周长公式，求得a和c的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（2）确定四边形OANB为平行四边形，则SOANB=2S△OAB ， 表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．