Question

【题目】△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记 ，则当λ取最大值时，tan∠ACD= ．

Answer 1

【答案】2+
【解析】解：∵sin（A﹣B）=sinC﹣sinB， ∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinC﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinB，
∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，
∴cosA= ，由A∈（0，π），可得：A= ，
在△ADB中，由正弦定理可将 ，变形为则 ，
∵ =
∴ 即a2λ2=4c2+b2+2bc…①
在△ACB中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣bc…②
由①②得
令 ， ，f′（t）= ，令f′（t）=0，得t= ，
即 时，λ最大．
结合②可得b= ，a= c
在△ACB中，由正弦定理得 ，tanC=2+
所以答案是：2+ ．

【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义，掌握正弦定理:即可以解答此题．