【题目】抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上的两个动点,且满足.设线段的中点在上的投影为,则的最大值是_______.
【答案】A
【解析】
试题设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF.由抛物线定义得2|MN|=a+b,由余弦定理可得|AB|2=(a+b)2﹣3ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案.
解:设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF,
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,
|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab,
配方得,|AB|2=(a+b)2﹣3ab,
又∵ab≤,
∴(a+b)2﹣3ab≥(a+b)2﹣(a+b)2=(a+b)2
得到|AB|≥(a+b).
∴≤1,
即的最大值为1.
故选:A.
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【题目】已知min{{a,b}= f(x)=min{|x|,|x+t|},函数f(x)的图象关于直线x=﹣ 对称;若“x∈[1,+∞),ex>2mex”是真命题(这里e是自然对数的底数),则当实数m>0时,函数g(x)=f(x)﹣m零点的个数为 .
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【题目】函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ< |)的图象向左平移 个单位后关于原点对称,求函数f(x)在[0, ]上的最小值为( )
A.﹣
B.﹣
C.
D.
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【题目】2017年,嘉积中学即将迎来100周年校庆.为了了解在校同学们对嘉积中学的看法,学校进行了调查,从三个年级任选三个班,同学们对嘉积中学的看法情况如下:
对嘉积中学的看法 | 非常好,嘉积中学奠定了 | 很好,我的中学很快乐很充实 |
A班人数比例 |
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B班人数比例 |
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C班人数比例 |
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(Ⅰ)从这三个班中各选一个同学,求恰好有2人认为嘉积中学“非常好”的概率(用比例作为相应概率);
(Ⅱ)若在B班按所持态度分层抽样,抽取9人,在这9人中任意选取3人,认为嘉积中学“非常好”的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
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【题目】以表示值域为R的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间.例如,当,时,,.现有如下命题:
①设函数的定义域为,则“”的充要条件是“,,”;
②函数的充要条件是有最大值和最小值;
③若函数,的定义域相同,且,,则;
④若函数(,)有最大值,则.
其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)
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【题目】在平面直角坐标系 中,已知曲线 : ( 为参数),以平面直角坐标系 的原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 : .
(1)将曲线 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2倍后得到曲线 ,试写出直线 的直角坐标方程和曲线 的参数方程;
(2)在曲线 上求一点 ,使点 到直线 的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】已知函数f(x)=lnx+a(x﹣1),其中a∈R. (Ⅰ) 当a=﹣1时,求证:f(x)≤0;
(Ⅱ) 对任意t≥e,存在x∈(0,+∞),使tlnt+(t﹣1)[f(x)+a]>0成立,求a的取值范围.
(其中e是自然对数的底数,e=2.71828…)
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