Question

【题目】已知函数 的图象上存在不同的两点 ,使得曲线 在这两点处的切线重合，则实数 的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】 当 时， 的导数为 ； 当 时， 的导数为 ， 设 ， 为该函数图象上的两点，且 ， 当 ，或 时， ，故 ， 当 时，函数 在点 处的切线方程为 ； 当 时，函数 在点 处的切线方程为 ． 两直线重合的充要条件是 ①， ②， 由①及 得 ，由①②得 ， 令 ，则 ，且
，

则 ，结合三次函数的性质可知，

在 时恒成立，故 单调递增，即 ，

即 ，可得函数 的图象在点 、 处的切线重合， 的取值范围是 ，故答案为：A.

先根据导数的几何意义分别求出分段函数f(x) 在A、B处的切线方程，再利用两条直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等列出关系式，从而得出a的代数式，整理后再构造 h(x)对其求导并利用导函数的性质得到 h(x)的单调性和最值，进而得出a的取值范围。