Question

已知，函数．
（1）求的单调区间和值域；
（2）设，若，总，使得成立，求的取值范围；
（3）对于任意的正整数，证明：．

Answer 1

（1）单调减区间，单调增区间，（2）；（3）略

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
解 （1）令，解得（舍去），

	0	()		(1)	1
		__	0	+
		↘		↗

单调减区间，单调增区间，；…… 4分
（2）∵，
∴当时，…………………6分
∴为上的减函数，从而当时有，…8分
由题意知：，
即故 ；………………… 10分
（3）构造函数：，
则，………………… 11分
当时，，∴函数在上单调增，………………… 12分
∴时，恒有，……13分
即 恒成立，…………………14分
故对任意正整数，取有．