Question

试求棱长为4a的正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离．

Answer 1

【答案】分析：设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，-2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连接PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角；设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n•=x+y=0，n•=y-z=0，解得n=（-1，1，1），所以向量=（-2a，2a，0）在n上的射影长d==即为所求．
解答：解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，
对角线DB、AC、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，-2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、
P（0，0，2a），设E为BC的中点，连接PE、QE、OE，
则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，
∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan．
设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，
则有n•=x+y=0，n•=y-z=0，解得n=（-1，1，1），
所以向量=（-2a，2a，0）在n上的射影长d==即为所求．
点评：本小题主要考查正八面体、棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．