Question

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）

• A、y=e^x
• B、y=sinx
• C、y=-x³
• D、y=log

  1

  2

  x

Answer 1

分析：A：因为f（-x）=e^-x≠-f（x），所以函数f（x）=e^x不是奇函数．B：函数f（x）=sinx的减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]．
C：因为函数的定义域为R关于原点对称，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），又f′（x）=-3x²≤0，所以函数在定义域内即是减函数又是奇函数．
D：因为函数的定义域为（0，+∞）不关于原点对称所以D错误．

解答：解：A：因为f（x）=e^x，所以f（-x）=e^-x≠-f（x），所以函数f（x）=e^x不是奇函数，所以A错误．
B：由题意可得：函数f（x）=sinx的减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，所以其在定义域内不是减函数，所以B错误．
C：因为函数的定义域为R关于原点对称，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），所以函数f（x）=-x³是奇函数．
又因为f′（x）=-3x²≤0，所以函数在定义域内是减函数．所以C正确．
D：因为函数的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，所以D错误．
故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握判断函数奇偶性与单调性的方法，以及掌握奇函数、偶函数、减函数、增函数的有关定义．