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如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意实数x,y都满足f(
x+y
2
)≤
f(x)+f(y)
2
,则称这个函数是下凸函数,下列函数
(1)f(x)=2x
(2)f(x)=x3
(3)f(x)=log2x(x>0);
(4)f(x)=
x,x<0
2x,x≥0

中是下凸函数的有(  )
分析:根据函数f(x)在其定义区间内对任意实数x,y都满足f(
x+y
2
)≤
f(x)+f(y)
2
,可得f″(x)≥0,再对四个函数分别求导,即可得到结论.
解答:解:∵函数f(x)在其定义区间内对任意实数x,y都满足f(
x+y
2
)≤
f(x)+f(y)
2

∴f″(x)≥0
(1)f(x)=2x,则f′(x)=2x•ln2,∴f″(x)=2x•ln22>0,∴函数是下凸函数;
(2)f(x)=x3,则f′(x)=3x2,∴f″(x)=6x,∴函数不是下凸函数;
(3)f(x)=log2x,则f′(x)=
1
xln2
,∴f″(x)=-
1
x2ln2
<0,∴函数不是下凸函数;
(4)x<0时,f′(x)=1,∴f″(x)=0;x≥0时,f′(x)=2,∴f″(x)=0,∴函数是下凸函数
故选D.
点评:本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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C.y=x3
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