Question

已知函数 f（x）=x²+2lnx+aln（1+x²）．
（I）若a=求f（x）的极值；
（II）已知f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂
（i） 求a的取值范围
（ii）求证：f（x₁）＜1-4ln2
（III） a=0时，求证[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）

Answer 1

解：（I）a=-时，f（x）=x²+2lnx-ln（1+x²）（x＞0），f′（x）=2x+-=，
当0＜x＜时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，
故f（x）_极小=f（）=2+ln2-，f（x）_极大=f（）=．
（II）由（I）计算过程不难计算出f′（x）=，
令t=x²，故只需t²+（a+2）t+1=0有两个不同正根，即，
所以a的范围为a＜-4．
因此x₁，x₂为方程x⁴+（a+2）x²+1=0的两根，且结合韦达定理可知，
0＜x₁＜1，再由a＜-4，
所以f（x₁）=+2lnx₁+aln（1+）＜+2lnx₁-4ln（1+），
令g（x₁）=+2lnx₁-4ln（1+），易知g′（x₁）≥0，即g′（x₁）单调递增，
所以g（x₁）＜g（1）=1-4ln2，从而命题得证．
（III）a=0时，f（x）=x²+ln2x，所以，，
故左边[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）=2ⁿ （++），
令S_n=++，
利用倒序相加法可得，2S_n=（x^n-2+）+（x^n-4+）+…+（x^n-4+）+（+x^n-2）
≥2（++…++）=2（2ⁿ-2），
从而命题得证．
分析：（I）a=-时求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，由导数符号即可求得其极值；
（II）（i）求导数f′（x）=，令t=x²，问题转化为方程t²+（a+2）t+1=0有两个不同正根，从而有，解出即得a的范围；
（ii）由（i）知x₁，x₂为方程x⁴+（a+2）x²+1=0的两根，且结合韦达定理可知，0＜x₁＜1，再由a＜-4，得f（x₁）=+2lnx₁+aln（1+）＜+2lnx₁-4ln（1+），令g（x₁）=+2lnx₁-4ln（1+），利用导数可判断g（x₁）的单调性，由单调性得g（x₁）＜g（1），整理后即得结论；
（III）a=0时求出，，则左边[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）=2ⁿ （++），令S_n=++，利用倒序相加法可得2S_n，再运用基本不等式即可证明；
点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查二次方程根的分布及二项式定理，考查学生综合运用知识解决问题的能力，解决（III）问的关键是利用倒序相加法其S_n．