Question

已知数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且数列{a_n+1-a_n}是等差数列，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在k∈N^*，使得ak-bk∈(

1

2

，3]？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设可知，bn=4×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3，由此能够推出an=

n2-7n+14

2

．
（Ⅱ）设cn=an-bn=

n2-7n+14

2

-(

1

2

)n-3，由题设条件知cn+1-cn=(n-3)+(

1

2

)n-2，由此入手能够推导出存在k=5，使得ak-bk∈(

1

2

，3]．

解答：解：（Ⅰ）由题设可知，bn=4×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3，
∵a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，
∴a_n+1-a_n=-2+（n-1）×1=n-3，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=4+(-2)+(-1)++(n-4)=4+

(n-1)(n-6)

2

，
∴an=

n2-7n+14

2

．
（Ⅱ）设cn=an-bn=

n2-7n+14

2

-(

1

2

)n-3，
显然，n=1，2，3时，c_n=0，
又cn+1-cn=(n-3)+(

1

2

)n-2，
∴当n=3时，c4-c3=

1

2

，∴a4-b4=

1

2

，
当n=4时，c5-c4=

5

4

，∴a5-b5=

7

4

，
当n=5时，c6-c5=

17

8

，∴a6-b6=

31

8

＞3，
当n≥6时，cn+1-cn=(n-3)+(

1

2

)n-2＞3恒成立，
∴c_n+1=a_n+1-b_n+1＞3+c_n＞3恒成立，
∴存在k=5，使得ak-bk∈(

1

2

，3]．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．