Question

方程f（x）=0的根称为函数，f（x）的零点．函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），函数y=3ax³+2bx²+cx的图象如图所示，且f（x₁）f（x₂）≤0，则函数f（x）的零点个数是

1. A.
   1
2. B.
   3
3. C.
   2或3
4. D.
   1或3

Answer 1

C
分析：函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），的导数为：f′（x）=3ax²+2bx+c，联系函数y=3ax³+2bx²+cx=x（3ax²+2bx+c）的图象可知，f′（x）=3ax²+2bx+c，的两个零点是：x₁、x₂，根据导数的几何意义可得函数f（x）的极值点分居在x轴的两侧（或者其中之一在x轴上）结合图象可得函数f（x）的零点个数．
解答：解：函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），的导数为：
f′（x）=3ax²+2bx+c，
又函数y=3ax³+2bx²+cx=x（3ax²+2bx+c）的图象如图所示，
由图可知，f′（x）=3ax²+2bx+c，的两个零点是：x₁、x₂，
根据导数的几何意义可得：函数f（x）的极值点是：x₁、x₂，
又f（x₁）f（x₂）≤0，
说明函数f（x）的极值点分居在x轴的两侧（或者其中之一在x轴上）
则函数f（x）的零点个数是：2或3．
故选C．
点评：本题考查函数的零点，三次函数的图象，以及利用图象解决问题的能力．