Question

已知A（4，0），N（1，0），若点P满足•=6||．
（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
（2）求||的取值范围；
（3）若M（-1，0），求∠MPN在[0，π]上的取值范围．

Answer 1

解：（1）设P（x，y），=（x-4，y），=（1-x，-y），=（-3，0），
∵•=6||，
∴-3（x-4）=6，即3x²+4y²=12．
∴=1．∴P点的轨迹是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．
（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，
设P（x₀，y₀），P到右准线的距离为d，d=4-x₀，=e=，|PN|=d=．
∵-2≤x₀≤2，∴1≤|PN|≤3．
当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（-2，0）．
（3）令|PN|=t（1≤t≤3），
则|PM|=4-t，|MN|=2，
cos∠MPN===-1+．
由1≤t≤3，得3≤t（4-t）≤4，
∴≤cos∠MPN≤1，
∴0≤∠MPN≤．
分析：（1）设出点P（x，y），将•=6||用坐标表示出来整理即得点P的轨迹方程；
（2）利用椭圆的第二定义建立关于||的等式，将||用坐标表示出来，即将||表示成P的坐标的函数，利用函数的性质求即可．
（3）用余弦定理将∠MPN的余弦值表示成关于||的函数，用函数的性质求求出角的取值范围．
点评：本题是递进式的一个题，此特点是后一问要用上前一问的结论，环环相扣，相当紧凑，本题运算量比较大，符号运算较多．